Mathématiques : comprendre les probabilités de gain au jeu de craps

Publié le 06/02/2025

Le craps est un jeu de dés populaire où les joueurs misent sur le résultat du lancer de deux dés. Pour les parieurs, comprendre les probabilités associées à ce jeu permet d’améliorer leur stratégie et d'anticiper les chances de victoire. Apprendre est donc la clé. Voyons ce que les mathématiques nous disent au sujet des probabilités de gain aux jeux de craps.

Rappel des règles de base du craps

Rappelons tout d’abord qu’au craps, le tireur lance deux dés, et que plusieurs issues sont possibles dès le premier lancer :

Si la somme obtenue est 7 ou 11, le joueur gagne immédiatement,
Si la somme obtenue est 2, 3 ou 12, le joueur perd directement,
Pour tout autre résultat (4, 5, 6, 8, 9 ou 10), le joueur doit continuer à lancer les dés jusqu'à obtenir à nouveau cette même valeur et ainsi gagner. Toutefois, s’il obtient un 7, il perd sa mise.

Les probabilités associées au premier lancer

Les probabilités nous montrent que le premier lancer est décisif 12 fois sur 36 (ou 12 parties sur 36). Ainsi :

Les probabilités de gagner directement sont de :

P (7) = 6/36,
P (11) = 2/36,
P (gagner au premier lancer) = 8/36.

Les probabilités de perdre directement sont de :

P (2) = 1/36,
P (3) = 2/36,
P (12) = 1/36,
P (perdre au premier lancer) = 4/36

Les probabilités de continuer à jouer sont de :

P (continuer) = 1 - [P (gagner au premier lancer) + P (perdre au premier lancer)]
P (continuer) = 1 - (8/36 + 4/36) = 24/36

Les probabilités de victoire après un premier lancer non décisif

Si le premier lancer donne 4, 5, 6, 8, 9 ou 10, la partie continue. Le joueur doit relancer les dés jusqu'à obtenir la même somme ou un 7. On note ainsi que :

p : la probabilité d'obtenir à nouveau le même nombre.
q = 6/36 (1/6) : la probabilité d'obtenir un 7 avant ce nombre.

La probabilité de réussir est donc donnée par : p / (p + q)

Les valeurs de p selon le nombre initial obtenu sont :

Pour 4 : p = 3/36, donc P (victoire) = (3/36) / (3/36 + 6/36) = 9/45,
Pour 5 : p = 4/36, donc P (victoire) = 16/60,
Pour 6 : p = 5/36, donc P (victoire) = 25/66,
Pour 8 : p = 5/36, donc P (victoire) = 25/66,
Pour 9 : p = 4/36, donc P (victoire) = 16/60,
Pour 10 : p = 3/36, donc P (victoire) = 9/45.

Les probabilités globales de victoire au craps

En combinant toutes ces probabilités, on obtient la probabilité totale de victoire au craps : P (gagner) = 8/36 + (2/36) x [(25/66) + (16/60) + (9/45)], ce qui donne environ 0,493, soit 49,30 % !